鼠笼式异步电机
简介
本篇文章主要在于推导建立鼠笼式异步电机数学模型，并通过数学模型引申出【矢量控制】、【直接转矩控制】、【模型预测控制】等一系列高性能控制方法。【电机建模】和【坐标变换】是这篇文章的基础。
在转子d-q-0坐标系，定子a-b-c坐标系中的数学模型
首先，规定正方向为电动机原则下的正方向，如Fig1所示
电压方程
由于这些线圈都是静止线圈，可以写出电压方程
$$
\begin{cases}
u_a=p\Psi_a+R_si_a \\
u_b=p\Psi_b+R_si_b \\
u_c=p\Psi_c+R_si_c \\
0=p\Psi_D+R_Di_D \\
0=p\Psi_Q+R_Qi_Q
\end{cases}
$$
如果设
$$
U=
\begin{bmatrix}
u_a \\
u_b \\
u_c \\
0 \\
0
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
U_{abc} \\
U_{DQ}
\end{bmatrix},I=
\begin{bmatrix}
i_a \\
i_b \\
i_c \\
i_D \\
i_Q
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
I_{abc} \\
I_{DQ}
\end{bmatrix},\Psi=
\begin{bmatrix}
\Psi_a \\
\Psi_b \\
\Psi_c \\
\Psi_D \\
\Psi_Q
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\Psi_{abc} \\
\Psi_{DQ}
\end{bmatrix}
$$
$$
R=
\begin{bmatrix}
R_s & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & R_s & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & R_s & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & R_D & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & R_Q
\end{bmatrix}
$$
则有，
$$
\begin{equation}
U=p\Psi+RI
\end{equation}
$$
磁链方程
$$
\begin{bmatrix}
\Psi_a \\
\Psi_b \\
\Psi_c \\
\Psi_D \\
\Psi_Q
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
L_{aa} & M_{ab} & M_{ac} & M_{aD} & M_{aQ} \\
M_{ba} & L_{bb} & M_{bc} & M_{bD} & M_{bQ} \\
M_{ca} & M_{cb} & L_{cc} & M_{cD} & M_{cQ} \\
M_{Da} & M_{Db} & M_{Dc} & L_{DD} & 0 \\
M_{Qa} & M_{Qb} & M_{Qc} & 0 & L_{QQ}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
i_a \\
i_b \\
i_c \\
i_D \\
i_Q
\end{bmatrix}
$$
电感矩阵
至此，已经得到了电机的电压方程和磁链方程，对其进行分析，可以发现，从表面上看，电压方程中不含$\omega$项，这显然是有问题的，这代表不管电机转多快，电压方程始终不受影响，那么哪里出了问题？
原因在于电感矩阵，电感的数值是会随着$\theta$的变动而改变的，因此在对$\Psi$进行微分时，不能简单的将电感矩阵提出来，而有如下的式子。
$$
\begin{align}
U&=p\Psi+RI \\
&=p(LI)+RI \\
&=pL \cdot I+L \cdot pI + RI \\
&=\omega \frac{\partial L}{\partial \theta}I + L \cdot pI + RI
\end{align}
$$
究其原因，这是由于$\theta$变化，导致自感互感变化，导致磁通变化而产生的感生电动势，这与伪静止线圈$\omega$项所表征的动生电动势在物理意义上有区别，需要区分。接下来推导电感矩阵。主要讲按照定子自感、转子自感、定子互感、转子互感、定转子间互感的顺序进行推导。
定子自感
先从概念层次上进行理解，自感根据产生的磁链有没有经过气隙，可以分为主自感和漏自感，如下式所示
$$
L_{aa}=L_{aa\delta} + L_{aal}
$$
其中$L_{aa\delta}$表示主自感，$L_{aal}$表示漏自感
再从周期性上分析，a相绕组与d轴对齐时，自感最大，与q轴对齐时，自感最小。而一个电周期将会经历两次与d轴q轴对齐的情况，因此自感周期为$\pi$，可以对其进行傅里叶分解，得到如下式子
$$
L_{aa} = L_{aa0} + L_{aa2} \cos(2\theta) + L_{aa4} \cos(4\theta) + \cdots
$$
省略高次项，只保留2次项，得到如下式子
$$
L_{aa} = L_{aa0} + L_{aa2} \cos(2\theta)
$$
下面对其具体构成进行推导，假设线圈匝数为W，d轴磁通为$\lambda_d$，q轴磁通为$\lambda_q$，有
$$
\begin{align}
\Phi_{aa\delta} &= \Phi_{ad\delta} \cos\theta - \Phi_{aq\delta} \sin\theta \\
&= F_{ad\delta} \lambda_d \cos\theta - F_{aq\delta} \lambda_q \sin\theta \\
&= F_a \lambda_d {\cos}^2 \theta + F_a \lambda_q {\sin}^2 \theta \\
&= W (\lambda_d {\cos}^2 \theta + \lambda_q {\sin}^2 \theta) i_a
\end{align}
$$
定义$L_{aad} = W^2 \lambda_d$，$L_{aaq} = W^2 \lambda_q$，则有
$$
\begin{align}
L_{aa\delta} &= L_{aad} {\cos}^2 \theta + L_{aaq} {\sin}^2 \theta \\
&= L_{aad} \frac{\cos 2\theta + 1}{2} + L_{aaq} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \\
&= \frac{1}{2}(L_{aad} + L_{aaq}) + \frac{1}{2}(L_{aad} - L_{aaq}) \cos 2\theta
\end{align}
$$
从这条式子可以看出$L_{aad}$和$L_{aaq}$的物理含义，分别为转子转到d轴的主电感，和转子转到q轴的主电感。加入漏电感，有
$$
L_{aa} = L_{aal} + \frac{1}{2}(L_{aad} + L_{aaq}) + \frac{1}{2}(L_{aad} - L_{aaq}) \cos 2\theta
$$
那么，
$$
L_{aa0} = L_{aal} + \frac{1}{2}(L_{aad} + L_{aaq}) \\
L_{aa2} = \frac{1}{2}(L_{aad} - L_{aaq})
$$
转子自感
由于转子所经历的磁路的磁导始终不变，因此转子自感为常数，表达如下
$$
L_{DD} = L_{DDl} + L_{DD\delta} \\
L_{QQ} = L_{QQl} + L_{QQ\delta}
$$
定子互感
同样先从概念上进行理解，根据磁链有没有经过气隙，可以分为主互感和漏互感，如下式所示
$$
M_{ba} = - M_{abl} + M_{ba\delta}
$$
与自感同理，从周期性上看，定子互感周期也为$\pi$，可以将其表示如下
$$
M_{ba} = - M_{ab0} + M_{ab2} \cos 2(\theta + \frac{2}{3}\pi)
$$
对$M_{ba}$进行计算，其他定子绕组间互感同理可得
计算a相绕组产生的磁动势
$$
F_a = W_a \cdot i_a
$$
将a相绕组磁动势分解到d轴和q轴方向，可以得到
$$
F_{ad} = F_a \cos \theta \\
F_{aq} = - F_a \sin \theta
$$
因此d轴和q轴磁通如下
$$
\Phi_{ad\delta} = F_a \cos \theta \lambda_d \\
\Phi_{aq\delta} = - F_a \sin \theta \lambda_q
$$
因此可以得到b轴磁通为
$$
\begin{align}
\Phi_{ba\delta}
&= \Phi_{ad\delta} \cos (\theta - \frac{2}{3}\pi) - \Phi_{aq\delta} \sin (\theta - \frac{2}{3}\pi) \\
&= F_a \cos \theta \cos (\theta - \frac{2}{3}\pi) \lambda_d + F_a \sin \theta \sin (\theta - \frac{2}{3}\pi) \lambda_q
\end{align}
$$
因此
$$
\Psi_{ba\delta} = (\cos \theta \cos (\theta - \frac{2}{3}\pi) \lambda_d + \sin \theta \sin (\theta - \frac{2}{3}\pi) \lambda_q) W^2 i_a
$$
可以得到
$$
\begin{align}
M_{ba\delta} &= L_{aad} \cos \theta \cos (\theta - \frac{2}{3}\pi) + L_{aaq} \sin \theta \sin (\theta - \frac{2}{3}\pi) \\
&= - \frac{1}{4}(L_{aad} + L_{aaq}) + \frac{1}{2}(L_{aad} - L_{aaq}) \cos 2(\theta + \frac{2}{3}\pi)
\end{align}
$$
那么，
$$
\begin{align}
M_{ba} &= - M_{abl} - \frac{1}{4}(L_{aad} + L_{aaq}) + \frac{1}{2}(L_{aad} - L_{aaq}) \cos 2(\theta + \frac{2}{3}\theta) \\
&= - M_{ab0} + M_{ab2} \cos 2(\theta + \frac{2}{3}\pi)
\end{align}
$$
转子互感
由于转子之间解耦，所以转子间互感为0
定转子间互感
定转子间互感要分为d轴和q轴两类，推导方法类似，对于d轴
$$
M_{aD} = M_{aD1} \cos \theta
$$
对于q轴
$$
M_{aQ} = - M_{aQ1} \sin \theta
$$
定转子间互感变化的周期为$2\pi$
机械方程
按照电动机原则规定正方向，可以列出如下方程式
$$
\begin{cases}
T_e = T_l + B \Omega + J \frac{d\Omega}{dt} = T_l + B \frac{\omega}{p} + \frac{J}{p}\frac{d\omega}{dt} \\
\frac{d\theta}{dt} = \omega
\end{cases}
$$
下面给出电磁转矩的表达式，使用虚位移法。写出电机的能量，为
$$
W = \frac{1}{2} I^T L I
$$
这里的I，L为电流矩阵和电感矩阵
那么，电磁转矩为
$$
T_e = \frac{\partial W}{\partial \gamma} = p \frac{\partial W}{\partial \theta} = \frac{p}{2} I^T \frac{\partial L}{\partial \theta} I
$$